Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).

Рис. 38

Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. ; по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно .

Момент силы относительно оси.

Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.

Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг дан­ной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 39).

Рис.39

Пусть на это тело действует сила ,приложенная в точке А . Проведем через точку А плоскость ху , перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие: , параллельную осиz, и , лежа­щую в плоскости ху ( является одновременно проекцией силы на плоскости ху ). Сила , на­правленная параллельно оси z , очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стре­мится сдвинуть тело вдоль оси z ). Весь вращательный эффект, создаваемый силой , будет совпадать с вращательным эффек­том ее составляющей . Отсюда заключаем, что , где символ обозначает момент силы относительно оси z .

Для силы же , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z , вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О , в которой ось z пересекается с пло­скостью xу . Следовательно, или, согласно преды­дущему равенству,

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из чертежа (рис.40) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z . Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 40) надо:

1) провести плоскость ху , перпендикулярную к оси z (в любом месте);

2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить вели­чину ;

3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направ­ление и найти его длину h ;

4) вычислить произведение ;

5) определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как F xy =0).

2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент отно­сительно оси также равен нулю (так как h = 0).

ПЛЕЧО ПАРЫ СИЛ кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару

(Болгарский язык; Български) - рамо на двоица сили

(Чешский язык; Čeština) - rameno dvojice sil

(Немецкий язык; Deutsch) - Hebelarm eines Kräftepaares

(Венгерский язык; Magyar) - erőpár karja

(Монгольский язык) - xoc хүчний мөр

(Польский язык; Polska) - ramię pary sił

(Румынский язык; Român) - braţ al cuplului de forţe

(Сербско-хорватский язык; Српски језик; Hrvatski jezik) - krak sprega sila

(Испанский язык; Español) - brazo del par

(Английский язык; English) - arm of couple of forces

(Французский язык; Français) - bras de couple des forces

Строительный словарь .

Смотреть что такое "ПЛЕЧО ПАРЫ СИЛ" в других словарях:

Расстояние между прямыми, по которым направлены силы, образующие пару сил. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь

плечо пары сил - Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN arm of couple of forces DE Hebelarm eines Kräftepaares FR bras de couple des forces …

плечо пары сил - jėgų dvejeto petys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. arm of couple; moment arm vok. Arm des Kräftepaares, f rus. плечо пары сил, n pranc. bras de levier du couple, m; bras du couple, m; bras du couple de forces, m … Fizikos terminų žodynas

плечо внутренней пары сил - z — [Англо русский словарь по проектированию строительных конструкций. МНТКС, Москва, 2011] Тематики строительные конструкции Синонимы z EN lever arm of internal forces … Справочник технического переводчика

плечо внутренней пары сил в сечении армокаменного элемента при действии изгибающего момента или внецентренном сжатии - z — [Англо русский словарь по проектированию строительных конструкций. МНТКС, Москва, 2011] Тематики строительные конструкции Синонимы z EN lever arm … Справочник технического переводчика

плечо пары - Расстояние между линиями действия сил пары. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.] Тематики теоретическая механика Обобщающие термины кинетика EN… … Справочник технического переводчика

плечо пары - Расстояние между линиями действия сил пары … Политехнический терминологический толковый словарь

П. момента силы (см. соотв. статью) или количества движения вокруг данной точки кратчайшее расстояние силы или направления скорости от этой точки. П. пары сил есть длина кратчайшего расстояния между силами пары. П. инерции какого нибудь тела… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Две равные по величине и противоположные по направлению параллельные силы, приложенные к одному телу. Пара сил не имеет равнодействующей. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары. Действие пары… … Энциклопедический словарь

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направлен­ных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (Р; Б"), образую­щих пару.

Пара сил вызывает вращение тела и ее дей­ствие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т. к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1).

Их действие на тело не может быть заменено од­ной силой (равнодействующей).

Момент пары сил численно равен произве­дению модуля силы на расстояние между лини­ями действия сил (плечо пары).

Момент считают положительным, если па­ра вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1(б)):

М(F;F") = Fa ; М > 0.

Плоскость, проходящая через линии дей­ствия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Свойства пар (без доказательств):

1. Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.

2. Эквивалентность пар.

Две пары, моменты которых равны, (рис. 4.2) эквивалентны (действие их на тело аналогично).

3. Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равно­действующей парой.

Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему (рис. 4.3):

4. Равновесие пар.

Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраи­ческая сумма моментов пар системы равнялась нулю:

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. лекция.. тема основные понятия и аксиомы статики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Задачи теоретической механики
Теоретическая механика - наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое дви­жение понимается как перемещение тела в пространстве и во време­ни по от

Третья аксиома
Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания систе­мы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3). Р,=Р2 Р,=Р.

Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твер­дое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.

Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9). Стержень може

Неподвижный шарнир
Точка крепления пере­мещаться не может. Стер­жень может свободно повора­чиваться вокруг оси шарни­ра. Реакция такой опоры про­ходит через ось шарнира, но

Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пе­ресекаются в одной точке, называется сходя­щейся (рис. 2.1).

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (вис. 2.2).

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого. Если

Решение задач на равновесие геометрическим способом
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим). Порядок решения задач:

Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а). Определяем возможные направления реакций связе

Проекция силы на ось
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: Усл

Момент силы относительно точки
Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом. Момент силы отн

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произ­вольно вы

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. При изменении поло­жения точки приведения величина главного вектора не изменится. Величина главного момента при переносе точки приведения из­менится,

Плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю. Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а). MOO

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2

Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил - система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе­каются в одной точке. Равнодействующую пространственной системы си

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур) Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V =

Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии. Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут

Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.Знать способы задания движения точки (естественный и координатный). Знать обозначения, едини

Пройденный путь
Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S, единицы измерения - метры. Уравнение движения точки: Уравнение, определяющ

Скорость движения
Векторная величина, характеризующая в данный момент бы­строту и направление движения по траектории, называется скоро­стью. Скорость - вектор, в любой момент направленный по к

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки. Скорость точки при перемещении из точки М1

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)

Равнопеременное движение
Равнопеременное движение - это движение с постоянным ка­сательным ускорением: at = const. Для прямолинейного равнопеременного движения

Поступательное движение
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается парал­лельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2). При

Вращательное движение
При вращательном движении все точки тела описывают окруж­ности вокруг общей неподвижной оси. Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω =const Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид:

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки A , расположенной на расстоянии RA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7). Путь

Решение
1. Участок 1 - неравномерное ускоренное движение, ω = φ’ ; ε = ω’ 2. Участок 2 - скорость постоянна - движение равномерное, . ω = const 3.

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Поступа­тельное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное от­носительно этого полюса. Разложение используют для опред

Центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были и

Понятие о трении. Виды трения
Трение - сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел воз­никает трение скольжения, при качении - трение качения. Природа сопро

Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения. Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном дефор­мируется грунт, и

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Сила инерции
Инертность - способность сохранять свое состояние неизмен­ным, это внутреннее свойство всех материальных тел. Сила инерции - сила, возникающая при разгоне или торможе­нии тел

Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Ре­акция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускоре­ния сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу

Работа равнодействующей силы
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1 в положение M 2 (рис. 15.7). В случае движения под действием системы сил пользуютс

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности. Мощность - работа, выполненная в единицу времени:

Мощность при вращении
Рис. 16.2 Тело движется по дуге радиуса из точки М1 в точку М2 М1М2 = φr Работа силы

Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнитель

Теорема об изменении количества движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv. Вектор количества движения совпадает по

Теорема об изменении кинетической энергии
Энергией называется способность тела совершать механиче­скую работу. Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия,

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Оz с угловой скоростью

Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего си­лового фактора в сечении, но не дает возможности установить за­кон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочно­сти н

Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных на­пряжениях в поперечных сечениях. Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения

Продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения. Участком нагружения с

Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке опре­деления осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1). Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать получе

Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ковсей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния

Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произве­дений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2) Представим прямо

Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ,

Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпен- дикулярное продольной оси, после деформацииостается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две про

Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и попе­речных линий и рассмотрим рису­нок, образовавшийся на поверхно­сти после Рис. 27.1а деформации (рис. 27.1а). Поп

Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности. Определим максимальное напряж

Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность 1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в по­перечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор -изгибающий момент. Брус, работающий на

Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1.Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения вну­тренних силовых факторов пользуемся методом с

Изгибающих моментов
Поперечная сила в сече­нии считается положитель­ной, если она стремится раз­вернуть се

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су­щественно упрощается при использовании дифференциальных зави­симостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью равномерн

Методом сечения Полученное выражение можно обобщить
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения: Q = ΣFi Поскольку речь идет

Напряжения
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).

Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальны­ми и касательными напряжениями, возникающими на всех площад­ках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточ­но определить напр

Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным напра­влениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, опре­деляют деформированное состояние в этой точке. Сложное деформи

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кру­чения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих слу­чаях возника

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под дей

Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускае­мой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

Расчет по формуле Эйлера
Задачу определения критической силы математиче­ски решил Л. Эйлер в 1744 г. Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

Критические напряжения
Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответству­ющее критической силе. Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих де­формаций. Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала. Пред

Рис.37

1. Изображение момента вектором. Момент силы относительно центра О (см. рис. 37) как характеристика ее враща­тельного эффекта определяется следую­щими тремя элементами:

1) модулем мо­мента, равным произведению модуля силы на плечо, т. е. ; 2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы и центр О; 3) напра­влением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат в одной пло­скости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скаляр­ную алгебраическую величину, равную , где знак указывает направление поворота.

Но в случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор), перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так, чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О.

Поэтому в общем случае момент ) силы относительно центра О (рис. 37) будем изображать приложенным в центре О вектором , равным по модулю (в выбранном масштабе) произ­ведению модуля силы на плечо h и перпендикулярным к пло­скости ОАВ, проходящей через центр О и силу . Направлять вектор будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора определяет положение центра момента.

2. Выражение момента силы с помощью вектор­ного произведения. Рассмотрим векторное произведение x векторов и (рис. 37). По определению, ,

так как модуль вектора тоже равен 2 пл. . Направлен вектор (x ) перпендикулярно к плоскости ОАВ , в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение с (если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, т. е., так же, как век­тор . Следовательно, векторы (x ) и совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, т. е. оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда

где вектор = называется радиусом-вектором точки А относи­тельно центра О .

Таким образом, момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора , соединяющего центр О с точкой приложения силы А , на саму силу. Этим вы­ражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказатель­стве некоторых теорем.

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).

Понятием алгебраического момента пары удобно пользоваться, если все пары лежат в одной плоскости. Теперь представим, что требуется рассмотреть пары, плоскости действия которых, по отношению друг к другу, расположены в пространстве. В этом случае вводится понятие векторного момента пары. По аналогии с векторным моментом силы относительно центра, векторный момент пары должен определять:

плоскость действия данной пары;

направление вращения пары в этой плоскости;

численное значение момента пары.

Таким образом, модуль этого вектора должен выражать в произвольно выбранном масштабе численное значение момента пары, а направление этого вектора должно определять направление перпендикуляра к плоскости

действия пары. Принято направлять векторный момент пары по перпендикуляру к ее плоскости в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на пару,

видеть эту пару вращающей тело против хода часовой стрелки (рис. 25).

Исходя из того, что действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости действия, точка приложения векторного момента пары значения не имеет. Условно, за эту точку принимают середину отрезка, соединяющего точки приложения сил данной пары.

Сложение пар. Условия равновесия пар

Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же

плоскости и имеющей момент равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство: Пусть на тело действуют три пары с моментами ,
,
(рис. 26,а ). На основании теоремы об эквивалентности пар мы можем заменить эти пары тремя парами
,
,
, имеющими общее плечои такие же моменты:
,
,
(рис. 26,б ). Складывая отдельно силы, приложенные в точках и, получаем в точкесилу, а в точкесилу, которые по модулю будут равны(рис. 26,в ).

В результате вся система пар заменяется одной парой
с моментом. Для случая из «» пар с моментами,
, …
, система заменяется одной парой с моментом
. Если пары расположены в пространстве, то можно перейти к векторному равенству
. Проектируя это векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем
,
,
.

Отсюда получаем условие равновесия системы пар : для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю
.

Геометрическое условие равновесия :для равновесия произвольной системы пар необходимо и достаточно, чтобы векторный момент результирующей пары был равен нулю
.

Аналитическое условие равновесия :
или через проекции на оси
,
,
. (7)

Тема 5. Приведение системы сил к центру

Пусть на тело действует система из «» сил, лежащих в одной плоскости.

Мы умеем их складывать, если они пересекаются в одной точке или они параллельны. Однако, если эти силы в плоскости расположены произвольно, то появляется необходимость привести эти силы к какому то центру. Покажем эту процедуру приведения силы к данному центру на примере одной силы. Теорема.Любая данная сила эквивалентна такой же по модулю и направлению сил, но приложенной в другой точке тела и некоторой паре.

Дана сила, приложенная в точке(рис. 27,а ). Требуется привести эту силу к произвольно выбранному центру причем так, чтобы состояние тела при этом не изменилось. Прикладываем в точкедве прямопротивоположные силы
и
, равные по модулю силе(рис. 27,б ). Тогда силы и
образуют пару. Следовательно, данную силуможно заменить равной ей силой
, приложенной в любой точке тела, и парой
с моментом
, что и требовалось доказать (рис. 27,в ).

Из доказанной теоремы получаем, что данную силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела с присоединением соответствующей пары. Поэтому пару
называютприсоединенной . Модуль момента присоединенной пары равен
. С другой стороны, произведение
представляет собой момент силыотносительно нового центра приведения:
.Следовательно,
, момент присоединенной пары
равен моменту силы, приложенной в старом центре относительно нового центра .

Приведение плоской системы сил к данному центру. Частные случаи приведения

Пусть на тело действует произвольная система сил,, …,, лежащих в одной плоскости (рис. 28,а ). Возьмем в этой плоскости произвольную точку , которую назовемцентром приведения , и пользуясь доказанной выше теоремой, приведем все силы в центр (рис. 28,б ).

В результате в центре получаем систему сходящихся сил и систему пар сил с моментами:
,
, …,
. Систему сходящихся сил можно заменить одной силой, приложенной в центре, при этом
. Аналогично, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары равен
.

Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называетсяглавным вектором системы . Величину
называютглавным моментом системы относительно центра .

В результате получили, что при приведении произвольной плоской системы сил к какому-либо центру , получаем два вектора: - главный вектор системы и
- главный момент системы относительно центра .

Здесь следует отметить, что главный вектор системы не зависит от центра приведения, так как все силы переносятся параллельно самим себе, а главный момент системы
зависит от центра приведения, поскольку при изменении центра приведения плечи у сил будут меняться.

Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести плоскую систему сил.

Рассмотрим два случая.

а)
,
. В этом случае система сразу заменяетсяравнодействующей , которая в данном случае будет равна главному вектору системы и она проходит через точку .

б)
,
. В этом случае система также заменяетсяравнодействующей , которая тоже будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку. Покажем, что это действительно так, и определим положение точки. Пусть в результате приведения получили главный вектори главный момент
относительно центра(рис. 29,а ). Пару сил изобразим силами и
, причем эти силы подбираем таким образом, чтобы у нас выполнялись равенства:
,
(рис. 29,б ). Затем отбрасываем силы икак уравновешенные, получаем, что система заменяется равнодействующей
, но проходящей через точку(рис. 29,в ). Положение точки определится соотношением
.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей системы сил относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Рассмотрим плоскую сходящуюся систему сил, в точке (рис. 30,а ).

a б в

Заменим эту систему сил равнодействующей, приложенной в той же точке (рис. 30,б ). Определим момент этой равнодействующей относительно точки , лежащей на оси (рис. 30,в ). Разложим равнодействующую на составляющие и , каждая из которых будет определяться: ,. Определяя момент этих проекций относительно точки (рис. 30,в ), получаем, что
, так как пересекает точку . Тогда . Аналогично рассматривая каждую из сил (рис. 30,а ), получим, что момент каждой из них относительно точки будет определяться моментом проекции этих сил на ось относительно точки , т.е. , , . Учитывая, что , получаем

. (8)